Eleonore Henriette Grabau wurde als älteste Tochter von Margarethe Anna Adelheid Arensberg und Johann Christian Lebrecht Grabau (1780-1852) geboren. Das Ehepaar hatte fünf Kinder: Georg (1806-1854), Adelheid (1807-1854), Johann Andreas (1808-1885), Johann Christian Lebrecht(1810–1874) und Maria (1812 -?).
Ihr Vater war seit 1800 Lehrer am blauen Weisenhaus und Organist. Er gründete 1811 den Grabau'schen Singverein. Im Bremer Musikleben wurde dieser neben der Singakademie und den Unions-Concerten zu einer bedeutenden Einrichtung des Bremer Musiklebens. Alle Kinder wurden bekannte Künstlerinnen und Musiker: Eleonores Bruder Andreas wurde ein berühmter Cellist in Leipzig, Eleonore Henriette eine berühmte Mezzosopranistin, Adelheid Konzertsängerin in Bremen und Leipzig und auch die jüngste der Schwestern, Maria Grabau war Konzertsängerin.
Henriette Grabau wurde in Dresden von dem bekannten Lehrer Schröder-Devrient unterrichtet. Im Jahre 1824 ging sie nach Dresden, um ihre Gesangstudien bei dem vielgerühmten Gesanglehrer Mieksch fortzusetzen. Im Frühjahr 1826 besuchte sie Leipzig und trat am 16. März im Abonne-mentconcert mit einer Arie von Rossini auf. Dieser erste Auftritt war entscheidend für ihre fernere Zukunft."Die Concert-Direction engagierte sie für nächsten Winter, und dann fort und fort aufs Neue viele Jahre lang. Sie erhielt im ersten und zweiten Jahre (1826 - 28) im Verein mit ihrer Schwester Adelheid 800 Thlr. für die Saison; im dritten Jahre mit ihrer Schwester Marie 830 Thlr. für die nächsten sechs Jahre jedesmal 600 Thlr. und 30 Thlr. als Vergütung....

Sie blieb bis in die Zeit Mendelssohn's hinein die Hauptsängerin im Concert, stets die edle Erscheinung, welche sie von Anfang war, stets die liebenswürdige , bescheidene Künstlerin, als die sie bei ihrem ersten Auftreten der Zuhörerschaft entgegentrat. Selten ist es, dass eine Künstlerin so lange in ihren Vorträgen sich gleich bleibt, wie es bei ihr geschah; immer sicher ihr Kunstziel verfolgend, immer gewissenhaft dem Ideale der Schönheit lebend, immer mehr in der Darstellung sich klärend, immer mehr in dem Wohlklang der Stimme sich vergeistigend: so wandelte sie ihre Bahn aufwärts nach dem Lichte der Kunst.
Henriette Grabau war bereits neun Winter hindurch hier gewesen, als Mendelssohn herkam. Der treffliche Meister erkannte sogleich den Werth einer solchen Künstlerin für das Institut und wusste ihn bei Einrichtung der Concerte so hervorzuheben, dass dadurch gleichsam eine neue glänzende Periode ihrer Wirksamkeit eintrat."¹

Sie wirkte von 1826 -1837 bei Konzerten im Gewandhaus in Leipzig mit, auch sang sie bei den ersten Konzerten Clara Wiecks deren Lieder. 1827 trat sie mit ihrer Schwester Adelheid im Schauspielhaus Bremen auf. Sie sang eine Szene aus Beethovens "Fidelio", "von der Grabau, deren Stimme nach dem allgemeinen Urtheile bedeutend gewonnen hat, trefflich vorgetragen. Außerdem hörten wir noch eine Szene und Arie aus der Oper "I baccanti die Roma" von Generali (Sospiri etc.) von Henriette Grabau gesungen und ein Terzett aus Mozart's Idomeneo von beyden Sängerinnen und deren Bruder mit schönem Ausdrucke vorgetragen," hieß es in der Allgemeinen Musikalischen Zeitung.²

Bei der "Paulus" Uraufführung von Felix Mendelssohn-Bartholdy in Düsseldorf, der dort seit 1833 in Musikdirektor war, war sie Solistin. Er engagierte sie wiederholt für das Niederrheinische Musikfest. 1836 sang sie für die Rolle der Vitellia in "Titus": Im Schriftverkehr über die Vorverhandlungen zum Engagement sagt er über sie: "Die Grabau, von der Du mir schreibst, würde gewiß gern kommen und sich, da sie eine wahre Musikfreundin und Künstlerin ist, an der Theilnahme eine große Freude machen. Die Parthien, die sie sänge, würden dann allerdings auch in den allerbesten Händen sein, denn ich wüßte keinen Sopran, der sich ihr gleichstellen könnte, namentlich im Vortrage der Recitation und ernsteren Musiken."³

1837 sang sie in einem Konzert des Pianisten und Klavierpädagogen Adolph von Henselt auf Einladung Schumanns in Leipzig, der von ihrer Stimme sagte, sie sei "vestalisch".⁴ Sie war mit ihm befreundet und gehörte wie er einem Kreis junger Künstler, den Davidsbündlern, an. Diese Vereinigung war 1833 unter Schumanns Mitwirkung ins Leben gerufen worden. Sie traf sich regelmäßig im Leipziger Lokal "Zum arabischen Coffee-Baum". Alle Mitglieder dieses Geheimbundes trugen Fantasienamen, Henriette den Namen "Maria". Sie wollten neue künstlerischen Formen in der Musik und Kunst eröffnen und sich von alten konservativen Formen abwenden. Von 1839 bis 1852 führten sie und Schumann eine rege Korrespondenz.

1837 heiratete sie den Kaufmann Julius Alexander Bünau, Teilhaber der Leipziger Firma J.B. Limburger, Seidenwaren. Nach der Geburt ihrer Tochter Helene am 13.4.1838 trat sie nur noch am 21. März 1839 im Schlusskonzer öffentlich auf, sonst nur noch bei privaten und kirchlichen Anlässen.Sie unterstützte auch bis zu ihrem frühen Tod angehende junge Sängerinnen mit Rat und Tat.
1843 wurde in Leipzig die Hochschule für Musik und Theater "Felix Mendelssohn Bartholdy" unter seiner Leitung als Conservatorium der Musik gegründet. Sie war zunächst im (ersten) Gewandhaus im Gewandgässchen/Universitätsstraße in der Innenstadt untergebracht. Zum ersten Stammpersonal gehörten Ferdinand David, Moritz Hauptmann, Henriette Bünau-Grabau, Karl Ferdinand Becker und Robert Schumann. Henriette unterrichte bis 1849 Chor- und Sologesang.
1852 starb sie bereits. Nach dem Tod erschien das "Grabau-Album"⁵ mit von ihr angefertigten Kopien von Mendelssohns "Liedern ohne Worte", einem Auszug aus der Oper "Ali Baba" von Cherubini, Unterschriften von Friedrich Rochlitz, Moritz Hauptmann, Carl Gottlieb Reissiger, Mme de Beriot (Maria Malibran), und Franz Liszt und Kopien von Briefen von Mendelssohn, Robert Schumann und Clara Schumann sowie zwei anonyme Gedichte einer "thrauernden Freundin". Auf dem 2.Deckblatt befindet sich ein Aquarell des Leipziger Gewandhauses von Mendelssohn, welches er der Sängerin gewidmet hat.